Biometrieübung 2
Wahrscheinlichkeitsrechnung

Formeln


Inhalt
Relationen zwischen zufälligen Ereignissen
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Die Addition von Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Multiplikation der Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert mathematische Modelle für zufällige Erscheinungen der objektiven Realität.
Beim Wurf mit einem idealen Würfel ist das Erscheinen irgendeiner Zahl i (i = 1, 2,..., 6) ein zufälliges Ereignis, etwa mit Ai bezeichnet.
Zufälligen Ereignissen A, B (Ereignisfeld) werden Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) für ihr Eintreten zugeordnet.


Relationen zwischen zufälligen Ereignissen


Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Ist unter n1 Versuchen das Ereignis A gerade m1-mal eingetreten, so ist der Quotient die relative Häufigkeit von A.
Beispiel: Wirft man den Würfel sehr oft und notiert die Anzahl der auftretenden Einsen, so kann man feststellen, daß die relative Häufigkeit von A = {1} um den Wert 1/6 = 0,1666 schwankt.

Es existiert im allgemeinen Fall ein fester Wert, um den die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses schwankt und dem sie sich um so mehr nähert, je größer die Anzahl der Versuche ist. Diese Konstante nennt man die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses A und bezeichnet sie mit P(A); [0 P(A) 1]; (Grenzwertsatz Bernoulli).
(Nur für endlich viele, gleichmögliche Versuchsausgänge gilt die klass. Definition der Wahrscheinlichkeit.)


Die Addition von Wahrscheinlichkeiten

P(A1 A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

P( ) = 1 - P(A)

Die Additionsregel verknüpft Wahrscheinlichkeiten von zufälligen Ereignissen, die in einer Entweder – Oder – Beziehung zueinander stehen.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man bei einem Wurf die Zahl 3 und 5 erhält, ist

Bei nicht unvereinbaren Ereignissen gilt:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatspiel eine rote bzw. eine Bildkarte zu ziehen?


Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, daß das Ereignis B schon eingetreten ist, heißt Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B:


P
(B) 0


Multiplikation der Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit des "sowohl – als auch", gleichzeitiges Eintreten mehrerer Ereignisse

Für 2 beliebige Ereignisse: P(A B) = P(A) * P(B / A)

Für unabhängige Ereignisse: P(A B C ...) = P(A) * P(B) * P(C) * ...

 

Beispiel: Zieht man aus einem Kartenspiel (32 Karten) eine Karte, so ist die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen .
Ist die gezogene Karte ein König und zieht man eine weitere Karte, so ist die Wahrscheinlichkeit, wieder einen König zu ziehen .
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Könige mit zwei Karten zu ziehen, ist .

 

Für k unabhängige Ereignisse A1,A2,...,Ak ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

sie gleichzeitig auftreten P = P(A1) * P(A2)* ... * P(Ak)

keines eintritt P = [1 - P(A1)] * [1 - P(A2)] * ... * [1 - P(Ak)]

mindestens eines eintritt P = 1 - [1 - P(A1)] * [1 - P(A2)] * ... * [1 - P(Ak)]


Letzte Änderung:21.02.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer