Biometrieübung 5
Spezielle Verteilungen

Formeln


Inhalt
Binomialverteilung
Poisson-Verteilung
Normalverteilung
Tabelle der Wahrscheinlichkeitsdichte der mormierten Normalverteilung
Tabelle der Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung

Binomialverteilung

Sie ist bei allen Problemen anwendbar, denen die folgende Fragestellung zugrunde liegt:

In einer Urne sind schwarze und weiße Kugeln enthalten, zusammen N Stück. Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel (Ereignis E) sei p. Aus dieser Urne wird jeweils eine Kugel gezogen und danach wieder zurückgelegt. Gefragt wird nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Reihe von n Zügen k-mal das Ereignis E eintritt und (n-k)-mal nicht eintritt (Zufallsgröße X). Das Verteilungsgesetz von X ist die angegebene Binomialverteilung.

 

Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

Beispiel: Aus einer Urne wird jeweils eine Kugel gezogen und wieder in die Urne gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist p=1/4, eine schwarze Kugel zu ziehen. Je 10 solcher Ziehungen bilden eine Gruppe. Werden die Versuche fortgesetzt, so wird die Anzahl der schwarzen Kugeln in den einzelnen Gruppen verschieden sein, sie ist eine Zufallsgröße. Mit Hilfe von , wobei k = 0, 1,..., 10 ist, ergibt sich das Verteilungsgesetz:

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,056

0,188

0,282

0,25

0,146

0,058

0,016

0,003

0,001

0,0

0,0

Durch graphische Darstellung gewinnt man einen Eindruck von dem Verteilungsgesetz.


Poisson-Verteilung

Dieser Verteilung liegt im wesentlichen dasselbe Problem zugrunde wie der Binomialverteilung. Es unterscheidet sich nur darin, daß die Anzahl n der aus der Urne gezogenen Kugeln sehr groß und die Wahrscheinlichkeit p für das Ziehen einer schwarzen Kugel sehr klein ist. Mit anderen Worten: Die Poissonverteilung ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung für n ® ¥ und für p ® 0, wobei zusätzlich angenommen wird, daß das Produkt n * p = l konstant ist. Diese Verteilung wird also dann angewendet, wenn ein Ereignis sehr selten eintritt.

Die Poissonverteilung wird allein durch die Größe l bestimmt.

 

Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

Beispiel: Aus einer Urne wird jeweils eine Kugel gezogen und wieder in die Urne gegeben. Die Wahrscheinlichkeit soll p = 0,01 sein, eine schwarze Kugel zu ziehen. Je 60 solcher Ziehungen bilden eine Gruppe. Werden die Versuche fortgesetzt, so wird die Anzahl der schwarzen Kugeln in den einzelnen Gruppen verschieden sein, sie ist eine Zufallsgröße. Aus , wobei l = 60 * 0,01 = 0,6 ist und k die Werte 1, 2, 3,..., 60 annehmen kann, ergibt sich das Verteilungsgesetz

k

0

1

2

3

4

5

...

60

0,549

0,329

0,099

0,020

0,003

0,000

...

0,000


Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wird bei der Binomialverteilung die Reihe der Züge n unendlich groß und bleibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses (p = ½) fest, so gelangt man zur Normalverteilung. Während die Binomialverteilung für ganzzahlige Werte erklärt ist, rücken bei der Normalverteilung die Merkmalswerte unendlich dicht zusammen. Sie beschreibt im Gegensatz zur Binomialverteilung eine stetige Zufallsgröße X.

 

Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) der Normalverteilung

 

Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) der Standardnormalverteilung N (0;1)

in Tabelle zusammengefaßt

 

Verteilungsfunktion der Normalverteilung

 

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N (0;1)

in Tabelle zusammengefaßt

 

Transformationsformel (Standardisierung einer normalverteilten Zufallsgröße)


Letzte Änderung: 19.06.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer