Biometrieübung 6
t-Test, Welch-Test, Mann-Whitney-Test

Formeln


Inhalt
t-Test
Welch-Test
Mann-Whitney-Test
Tabelle der Signifikanzschranken der t-Verteilung
Tabelle der kritischen Werte von U für den Mann-Whitney-Test

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben (t-Test)

Fragestellung: sind die Mittelwerte und zweier unabhängiger Stichproben X und Y signifikant verschieden?
Voraussetzung: beide Grundgesamtheiten normalverteilt mit gleichen, unbekannten Varianzen; unabhängige Stichproben

H0:
HA:

Rechenweg:

1. Berechne

bei zweiseitiger Fragestellung auch

falls n1 = n2 = n

n1 = Umfang Stichprobe X
n2 = Umfang Stichprobe Y
und die jeweiligen Mittelwerte

oder

2. t-Wert aus t-Tabelle

FG = = n1 + n2 – 2

FG (Anzahl der Freiheitsgrade) ergibt sich aus Stichprobenumfang n und wird i.d.R. vermindert um die Anzahl der Parameter, die aus Stichprobe geschätzt werden, hier: 2 Mittelwerte

3. Vergleiche Prüfgröße und Tabellenwert

(x entspricht 1; und y entspricht 2)
Für HA: (H0: ), falls , dann wird H0 abgelehnt
Für HA: (H0: ), falls , dann wird H0 abgelehnt
Für HA: (H0: ), falls , dann wird H0 abgelehnt


Welch-Test

Dieser Test wird angewendet, wenn zwei Meßwertreihen unter folgenden Bedingungen hinsichtlich der Lage miteinander zu vergleichen sind:

Hypothesen:

H0:
HA:

Rechenweg:

Aus den beiden Meßwertreihen mit den Umfängen n1 und n2 berechnet man die Stichproben-Mittelwerte und und die Stichproben-Varianzen und .

Als Prüfgröße dient der Ausdruck

Die beim Welch-Test maßgebende Zahl der Freiheitsgrade ergibt sich nicht direkt aus den beiden Stichprobenumfängen, sondern muß berechnet werden. Hierzu bestimmt man die Hilfsgröße

und daraus die genäherte Anzahl der Freiheitsgrade

ist i.a. keine ganze Zahl. Daher wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet. ist die Zahl der Freiheitsgrade, mit der in einer Tabelle der kritische Wert zur Irrtumswahrscheinlichkeit ermittelt wird.

Vergleich von und dem Tabellenwert
Für HA: (H0: ), falls , dann wird H0 abgelehnt


Mann-Whitney-Test (U-Test)

-verteilungsunabhängiges (oder parameterfreies) Verfahren, daß heißt, es werden keine Voraussetzungen an die Verteilungsform gestellt

Drei wichtige Gründe für die Anwendung verteilungsunabhängiger Verfahren:

  1. Es liegen ordinale Daten vor, z. B. in Form von Rangfolgen.
  2. Es liegen metrische Daten vor, von denen man von vornherein weiß, daß ihre Variationen dem Gesetz der Normalverteilung nicht folgt; gleichzeitig ist der Stichprobenumfang nur mäßig groß, so daß unsicher ist, ob für die Mittelwerte-Verteilung schon eine Normalverteilung unterstellt werden darf.
  3. Es liegen metrische Daten geringen Umfanges vor, über deren Verteilung überhaupt nichts bekannt ist.

Ein wichtiger Vertreter aus der Gruppe der verteilungsunabhängigen Signifikanztests ist der Mann-Whitney-Test.

Anwendung des Mann-Whitney-Test:

  1. In der gemeinsamen geordneten Rangreihe der Länge n1 + n2 ordnet man den Meßwerten die Rangnummern 1 bis n1 + n2 zu, notiert aber die Rangnummern nach beiden Proben getrennt.
  2. Berechne für jede Probe die Summe der auf sie entfallenden Rangnummern; diese heißen auch die Rangsummen und werden mit R1 und R2 bezeichnet.
  3. Aus R1 und R2 werden die Größen U1 und U2 durch folgende Formeln bestimmt:

  4. Als Prüfgröße U gilt die kleinere der beiden Zahlen U1 und U2:
    U = min (U1,U2)
  5. Ablesen des kritischen Wertes aus einer Tabelle
  6. Vergleiche Prüfgröße und Tabellenwert; H0 wird verworfen, falls

Letzte Änderung: 15.07.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer