Biometrieübung 12
Zufallsauswahl & Blockstichprobe

Formeln


Inhalt
Quellenangabe und Beispielpopulation
Zufallsstichprobe
     Formeln zur Zufallsstichprobe
Blockstichprobe (Blockbildung)
     Formeln zur Blockstichprobe
Stratifizierte Stichprobe (Stratifizierung)
     Formeln zur Stratifizierung
Systematische Stichprobe
Klumpenstichprobe / Clusterstichprobe
Mehrstufige Stichprobe
     Zweistufige Stichprobe
     Dreistufige Stichprobe

Quellenangabe und Beispielpopulation

Die auf dieser Seite befindlichen Beispiele, Formeln und Beschreibungen wurden dem Buch "Forstinventur - Ein Leitfaden für Studium und Praxis" von FRITZ ZÖHRER (Verlag Paul Parey, Hamburg/Berlin 1980) entnommen.
Für ein besseres Verständnis der unten aufgeführten Beispiele benutzen wir eine konkrete Übungspopulation. Die Population I besteht aus einem quadratischen Waldgebiet, das in 20 x 20 = 400 quadratische Probeflächen unterteilt ist, die sich ohne Zwischenräume aneinanderreihen. Jede Probefläche ist 0,1 ha groß, aber die Zahl in der Population gibt das Volumen in m³/ha wieder. Die Bestockungsverhältnisse innerhalb dieses Gebietes sind ziemlich heterogen, wobei sich eine gewisse Zonierung zeigt.


Zufallsstichprobe

Die Zufallsstichprobe (engl. "random sample") gilt als Grundform aller Stichprobenverfahren. Die Kenntnis der Zusammenhänge ist daher wichtig für alle weiteren Stichprobenverfahren. Die Zufallsstichprobe kann bei Winkelzählproben, Probeflächen, SPP-Stichproben (Stichprobe mit programmierter Probebaumauswahl) und Satellitenstichproben ebenso verwendet werden wie bei Einzelbaumauswahl. Jede beliebig geartete und definierte Population kann durch Zufallsstichproben erfaßt werden. Dabei werden stets erwartungstreue, unverzerrte Werte erreicht.

Vor- und Nachteile
Die streng zufällige Auswahl gewährleistet in jedem Fall erwartungstreue Schätzungen der Populationsparameter. Auch die Standardfehler lassen sich unverzerrt abschätzen, was z.B. bei der systematischen Stichprobe nicht der Fall ist.
Diesem Vorteil steht aber die geringe Wirksamkeit der Zufallsstichprobe gegenüber: Um einen bestimmten Standardfehler zu erzielen, benötigt man einen relativ großen Stichprobenumfang, was wiederum einen hohen Aufwand zur Folge hat. Als weiterer Nachteil für die Forstinventur ist auch noch die ungleichmäßige Erfassung der Waldflächen mit Stichproben anzuführen. Außerdem ist die Organisation und Kontrolle relativ aufwendig. Aus diesem Grund wurden Stichprobenverfahren entwickelt, die das Zufallsprinzip als allein steuerndes Element der Stichprobenauswahl einschränken.

Zufallsstichprobe von n = 16 Probeflächen in Population I

 

I

II

III

IV

 
1
2
3
4
5

130

153

153

112

200

106

100

147

118

165

- -

12

-

35

-

18

- -

24

A

124

106

136

130

165

141

194

212

136

88

100

-

12

65

88

-

100

30

12

47

177

165

136

124

171

106

82

177

147

165

118

82

47

6

88

12

30

  - -

24

165

112

124

118

153

118

224

136

118

159

141

65

35

24

-

30

30

53

53

30

100

82

118

153

147

130

130

112

88

118

147

153

88

53

71

- -

94

47

30

6
7
8
9
10

224

247

217

230

130

259

277

100

147

171

200

171

118

141

82

59

71

6

- -

B

253

200

135

271

277

271

230

206

242

177

141

200

135

153

106

153

124

71

30

6

212

277

265

212

206

171

289

259

183

247

194

277

183

165

88

106

118

136

53

71

224

283

247

300

100

318

277

306

177

200

177

271

141

71

124

71

188

171

159

94

100

141

265

277

306

165

253

265

271

159

236

188

300

165

147

241

118

159

82

124

11
12
13
14
15

277

330

253

218

177

353

330

253

171

194

241

177

177

118

88

106

118

188

77

165

C

224

212

159

224

141

183

283

188

147

183

206

183

130

88

59

130

141

112

106

94

271

318

200

271

218

253

260

200

147

259

253

77

165

242

153

194

106

224

59

141

277

277

206

236

230

230

294

165

294

212

259

159

94

124

212

100

159

124

218

200

130

218

65

171

165

194

171

206

312

94

153

118

171

71

136

147

88

100

153

124

16
17
18
19
20

218

130

118

130

82

171

147

124

177

183

159

94

124

212

100

159

124

100

82

71

D

106

147

153

118

159

153

153

130

112

177

88

12

41

18

24

88

53

41

-

18

130

200

194

100

141

165

153

147

177

194

106

35

-

18

- -

35

30

41

35

77

165

159

159

183

118

124

124

94

159

71

-

100

18

6

6

-

-

-

30

188

183

177

130

94

153

47

188

112

118

18

18

- - -

12

-

30

59

12

 
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t
 

Formeln zur Zufallsstichprobe

Mittelwert

Varianz

Standardabweichung

Standardfehler

Vertrauensbereich

               FG = n-1

Variationskoeffizient

Erforderlicher Stichprobenumfang

t = 2

A = einseitige Weite des Konfidenzintervalls


Blockstichprobe (Blockbildung)

Die Einschränkung des Zufallsprinzips kann z.B. in einer Blockbildung bestehen, indem die gesamte Waldfläche in gleich große Teile zerlegt wird, aus denen eine bestimmte Anzahl von Probeeinheiten zufällig ausgewählt wird. Da die Zufallsvariation innerhalb der Blöcke geringer ist als in der gesamten Population, kann dadurch der Inventuraufwand gegenüber der reinen Zufallsauswahl verringert werden.
Die Untergleiderung des Inventurgebietes in Blöcke ist immer dann in Erwägung zu ziehen, wenn dadurch in sich homogenere Populationsteile entstehen, die aber auf dem Luftbild nicht durch deutliche Abgrenzung (Stratengrenzen) unterschieden werden können.
Die Wirksamkeit dieses Inventurdesigns ist um so größer, je stärker die Unterschiede zwischen den Blöcken sind. Dies kann in gewissem Maße durch geschickte Wahl der Blockgröße beeinflußt werden.

Untergliederung von Population I
in 16 Blöcke Zufallsauswahl von k = 3 Probeflächen pro Block

 

I

II

III

IV

 
1
2
3
4
5

130

153

153

112

200

106

100

147

118

165

- -

12

-

35

-

18

- -

24

A

124

106

136

130

165

141

194

212

136

88

100

-

12

65

88

-

100

30

12

47

177

165

136

124

171

106

82

177

147

165

118

82

47

6

88

12

30

  - -

24

165

112

124

118

153

118

224

136

118

159

141

65

35

24

-

30

30

53

53

30

100

82

118

153

147

130

130

112

88

118

147

153

88

53

71

- -

94

47

30

6
7
8
9
10

224

247

217

230

130

259

277

100

147

171

200

171

118

141

82

59

71

6

- -

B

253

200

135

271

277

271

230

206

242

177

141

200

135

153

106

153

124

71

30

6

212

277

265

212

206

171

289

259

183

247

194

277

183

165

88

106

118

136

53

71

224

283

247

300

100

318

277

306

177

200

177

271

141

71

124

71

188

171

159

94

100

141

265

277

306

165

253

265

271

159

236

188

300

165

147

241

118

159

82

124

11
12
13
14
15

277

330

253

218

177

353

330

253

171

194

241

177

177

118

88

106

118

188

77

165

C

224

212

159

224

141

183

283

188

147

183

206

183

130

88

59

130

141

112

106

94

271

318

200

271

218

253

260

200

147

259

253

77

165

242

153

194

106

224

59

141

277

277

206

236

230

230

294

165

294

212

259

159

94

124

212

100

159

124

218

200

130

218

65

171

165

194

171

206

312

94

153

118

171

71

136

147

88

100

153

124

16
17
18
19
20

218

130

118

130

82

171

147

124

177

183

159

94

124

212

100

159

124

100

82

71

D

106

147

153

118

159

153

153

130

112

177

88

12

41

18

24

88

53

41

-

18

130

200

194

100

141

165

153

147

177

194

106

35

-

18

- -

35

30

41

35

77

165

159

159

183

118

124

124

94

159

71

-

100

18

6

6

-

-

-

30

188

183

177

130

94

153

47

188

112

118

18

18

- - -

12

-

30

59

12

 
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t
 

Formeln zur Blockstichprobe

Blockmittel

                ni = Probeflächen pro Block

Gesamtmittel

                 k = Anzahl an Blöcken

Blockvarianz

Gesamtvarianz (s² oder )

Gesamtstandardabweichung (S; SBlock)

Stichprobenfehler

n  = Umfang der Probefläche aller Blöcke
N = Umfang der Grundgesamtheit


Letzte Änderung: 25.06.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer