Biometrieübung 13
Stratifizierte Stichprobe

Formeln


Inhalt
Quellenangabe und Beispielpopulation
Zufallsstichprobe
     Formeln zur Zufallsstichprobe
Blockstichprobe (Blockbildung)
     Formeln zur Blockstichprobe
Stratifizierte Stichprobe (Stratifizierung)
     Formeln zur Stratifizierung
Systematische Stichprobe
Klumpenstichprobe / Clusterstichprobe
Mehrstufige Stichprobe
     Zweistufige Stichprobe
     Dreistufige Stichprobe

Quellenangabe und Beispielpopulation

Die auf dieser Seite befindlichen Beispiele, Formeln und Beschreibungen wurden dem Buch "Forstinventur - Ein Leitfaden für Studium und Praxis" von FRITZ ZÖHRER (Verlag Paul Parey, Hamburg/Berlin 1980) entnommen.
Für ein besseres Verständnis der unten aufgeführten Beispiele benutzen wir eine konkrete Übungspopulation. Die Population I besteht aus einem quadratischen Waldgebiet, das in 20 x 20 = 400 quadratische Probeflächen unterteilt ist, die sich ohne Zwischenräume aneinanderreihen. Jede Probefläche ist 0,1 ha groß, aber die Zahl in der Population gibt das Volumen in m³/ha wieder. Die Bestockungsverhältnisse innerhalb dieses Gebietes sind ziemlich heterogen, wobei sich eine gewisse Zonierung zeigt.


Stratifizierte Stichprobe (Stratifizierung)

Stratifizierung (engl. "stratification") bedeutet Untergliederung einer Population in Teile, sog. Straten. Ein Stratum unterscheidet sich von einem anderen z.B. durch unterschiedlichen Waldtyp oder durch abweichendes Alter der Bestockung. In diesem Zusammenhang interessiert vor allem die Höhe des Holzvorrates pro ha und die Variabilität desselben.
Im Gegensatz zur Blockbildung ist die Stratifizierung, d.h. das Ziehen der Stratengrenzen willkürlich. Wichtig ist dabei lediglich, daß möglichst unterschiedliche Teilpopulationen entstehen. Zur Stratifizierung benutzt man meist Luftbilder, die etwaige Bestockungsunterschiede deutlich abbilden.
Die Stratifizierung gehört zu den wichtigsten Maßnahmen zur Erhöhung der Effizienz von forstlichen Stichprobenerhebungen.
In der Forstinventur wird die Stratifizierung vor allem dann angewandt, wenn das zu inventarisierende Waldgebiet aus deutlich unterschiedlich bestockten Teilgebieten zusammengesetzt ist. Je klarer sich diese Unterpopulationen voneinander abheben und je größer ihre zusammenhängende Flächenausdehnung ist, um so vorteilhafter ist die Stratifizierung.
Sind die Straten z.B. durch kleinflächige, mosaikartige zusammengesetzte Waldteile charackterisiert, kann der Aufwand für die Stratifizierung untragbar hoch sein. Dies ist z.B. bei Nationalinventuren in Mitteleuropa der Fall.
Die wichtigste Grundlage für eine wirkungsvolle Stratifizierung ist aktuelles Luftbildmaterial für das Inventurgebiet. Auch eine bereits bestehende Forstkarte kann eine wertvolle Basis für stratifizierte Stichproben darstellen. Als Beispiel sei eine Altersklassenkarte der Forsteinrichtung genannt.
Der größte Vorteil der Stratifizierung neben der oft beträchtlichen Senkung der Inventurkosten ist die Untergliederung der Gesamtwaldfläche in sinnvolle Teilgebiete. Für diese Teilgebiete (Straten) sind häufig eigene Informationen erforderlich. Dies ist z.B. dann der Fall, wenn die Straten Waldtypen darstellen, die eine unterschiedliche Baumartenzusammensetzung aufweisen.
Anstelle der zufälligen Verteilung innerhalb der Straten ist auch die systematische Verteilung sehr gebräuchlich.

Untergliederung von Population I in drei Volumenstraten,
Zufallsauswahl von n
= 16, n2 =14 und n3 = 18 Probeflächen in den Straten I, II und III

 

I

II

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  Stratum I   Stratum II   Stratum III

Formeln zur Stratifizierten Stichprobe

Proportionale Verteilung

Optimale Verteilung

Stratenwerte:

Gesamtwerte:

L = 3 (Stratenanzahl)


mit


Systematische Stichprobe

Die systematische Stichprobe (engl. "systematic sample") ist in vielen Fällen das bevorzugte Auswahlverfahren bei Forstinventuren.
Systematische Stichprobe bedeutet Auswahl nach einem starren, vorher festgelegten Schema, wie z.B. Schädlingskontrolle an jeder hundertsten Pflanze in einem Pflanzgarten, Befragung jedes tausendsten Nationalparkbesuchers oder Aufnahme einer Winkelzählprobe alle 100 m in einem regelmäßigen Quadratnetz.
Die Vorzüge der systematischen Stichprobe bei der Forstinventur liegen in der Einfachheit der Auswahl und in der größeren Effizienz gegenüber dem Zufallsprinzip.
Die systematische Verteilung ist effektiver als die zufällige Verteilung und erleichtert die praktische Durchführung der Feldarbeit. Es ist einfacher, entlang einer vorgegebenen Marschrichtung in bestimmten Abständen Probeflächen oder Winkelzählproben anzulegen, als nach einem ausgeklügelten System in einem schwer überschaubaren Waldgebiet Zufallspositionen aufzusuchen.
Bedenken gegenüber systematischen Stichproben, es sei mit verzerrten Mittelwerten zu rechnen und es sei nicht möglich, den Standardfehler zu quantifizieren, erwiesen sich nicht als so schwerwiegend, daß die Vorteile dadurch aufgewogen würden. Verzerrungen können bei wellenförmigen Trends durch geschickte Wahl der Richtung der Reihen vermieden werden. Leicht schräges Anschneiden der "Wellen" ist dabei am günstigsten. Außerdem kann in solchen Fällen das Dreiecksnetz vorteilhaft angewandt werden. Die Standardfehlerberechnung mit Paardifferenzen ist für praktische Zwecke der Forstinventur hinreichend genau. In vielen Fällen begnügt man sich auch mit der Zufallsformel und nimmt dabei eine Überschätzung des Standardfehlers in Kauf.

Systematische Stichprobe von n = 16 Probeflächen in Population I

 

I

II

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Klumpenstichprobe / Clusterstichprobe

Die Unzugänglichkeit der Waldgebiete, der hohe Zeit- und Kostenaufwand zum Erreichen der Stichprobenpositionen und die Aufwendigkeit der Messungen und Beobachtungen zwingen zu einer Konzentration der Feldarbeit. Die Auswahl von Probeflächen ist bereits eine derartige Konzentration. Die Aufnahmeeinheit besteht nicht mehr nur aus einem einzigen Element sondern aus mehreren.
Die Grundgesamtheit wird in Cluster (Klumpen) zerlegt und dazu erfolgt eine Auswahl einer bestimmten Anzahl Cluster.


Mehrstufige Stichprobe

Die mehrstufige Stichprobe (engl. "multi-stage sampling) spielt eine bedeutende Rolle in der Forstinventur. Die Grundidee ist, aus der Population primäre Stichprobeneinheiten auszuwählen, die wieder durch sekundäre Stichprobeneinheiten aufzunehmen sind. Man spricht in einem solchen Fall auch von Unterstichproben (engl. "sub-samling").
Gibt es primäre und sekundäre Populationseinheiten, handelt es sich um eine zweistufige Stichprobe. Werden die sekundären Stichprobeneinheiten nicht voll aufgenommen, sondern wieder nur stichprobenmäßig erfaßt (durch tertiäre Stichprobeneinheiten), liegt eine dreistufige Stichprobe vor.

Zweistufige Stichprobe

Die zweistufige Stichprobe ist vor allem für großräumige Forstinventuren in Erwägung zu ziehen, wenn die hohen Kosten zum Erreichen der Stichprobenorte zu einer Konzentration der Feldarbeit zwingen, wie vor allem in tropischen Waldgebieten.
Das Verfahren muß mit der systematischen Stichprobe konkurrieren, bei der Satelitenprobeflächen oder sonstige systematisch angeordnete Cluster verwendet werden. Die zweistufige Stichprobe ist dann vorzuziehen, wenn die Gefahr wellenförmiger Trends besonders groß ist und bei der systematischen Stichprobe Verzerrungen erwartet werden müssen, die nicht eliminiert werden können.
Benutzt man anstelle der Zufallsauswahl innerhalb der primären Stichprobeneinheiten eine systematische Auswahl, geht das Verfahren in eine Clusterstichprobe über. Stichprobeneinheit ist dann wie bei der Satellitenstichprobe der ganze Cluster, d.h. die Summe aller Probeflächen eines Blocks. Diese Summe kann aber auch so behandelt werden, als ob sie aus einer einzigen größeren Probefläche stammen würde. Das Verfahren geht dann bei zufälliger Auswahl der primären Stichprobeneinheiten in die Zufallsstichprobe über.

Zweistufige Stichprobe in Population I
m = 6 Blöcke, n
j = 8 Probeflächen pro Block

 

I

II

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IV

 
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A

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94

124

212

100

159

124

218

200

130

218

65

171

165

194

171

206

312

94

153

118

171

71

136

147

88

100

153

124

16
17
18
19
20

218

130

118

130

82

171

147

124

177

183

159

94

124

212

100

159

124

100

82

71

D

106

147

153

118

159

153

153

130

112

177

88

12

41

18

24

88

53

41

-

18

130

200

194

100

141

165

153

147

177

194

106

35

-

18

- -

35

30

41

35

77

165

159

159

183

118

124

124

94

159

71

-

100

18

6

6

-

-

-

30

188

183

177

130

94

153

47

188

112

118

18

18

- - -

12

-

30

59

12

 
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t

Dreistufige Stichprobe

Drei- und mehrstufige Stichproben spielen in der Praxis der Forstinventur kaum eine Rolle und sollen hier nur der Vollständigkeit wegen erwähnt werden. Bei der dreistufigen Stichprobe unterscheidet man zwischen primären, sekundären und tertiären hierarchisch angeordneten Populationseinheiten. Bei der Standardfehlerberechnung und bei der Optimierung sind alle drei Fehlerkomponenten zu berücksichtigen.


Letzte Änderung: 31.08.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer