Biometrieübung 17
Lateinische Quadrate

Formeln


Lateinische Quadrate (Latin Squares)

Bei der Versuchsanlage der Lateinischen Quadrate werden zwei Störfaktoren in den Versuch mit einbezogen: es handelt sich um eine doppelte Blockbildung. Demnach werden drei Planfaktoren berücksichtigt: der eigentliche Prüffaktor und die beiden Störfaktoren. Oft bezieht sich diese Versuchsanordnung auf räumliche Störfaktoren im Gelände. So kann beispielsweise die Standortsgüte in zwei Richtungen einen Trend aufweisen:

Um die Störfaktoren bei der Versuchsanlage mitzuerfassen, werden die Versuchseinheiten nach der Ausprägung der Störfaktoren gruppiert.
Bei der Varianzanalyse können die Streuungen, die auf die beiden Störfaktoren zurückzuführen sind, von SQFehler getrennt werden; SQFehler des Lateinischen Quadrates ist bei wesentlichen Störfaktoren gegenüber der vollkommen randomisierten Anlage und der Blockanlage reduziert. Die Gesamtstreuung SQGes wir in vier Komponenten zerlegt:

 

Freiheitsgrade (FG)

SQGesamt = (Einzelwerte - Gesamtmittel)²

n - 1

SQBehandlung = k * (Behandlungsmittelwert - Gesamtmittel)²

k - 1

SQZeile = k * (Zeilenmittel - Gesamtmittel)²

k - 1

SQSpalte = k * (Spaltenmittel - Gesamtmittel)²

k - 1

SQFehler = SQGesamt - SQBehandlung - SQZeile - SQSpalte

(k - 1) * (k - 2)

mit k = Anzahl der Behandlungen

Zur Berechnung werden folgende Formeln verwendet:

    (Korrekturterm)

Zur Prüfung der Nullhypothese H0: µ 1 = ... = µ k wird der berechnete F-Wert mit dem Tabellenwert für k-1 und (k-1)(k-2) Freiheitsgraden verglichen. Wenn der berechnete Wert größer als der Tabellenwert ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Wann kann die Versuchsanlage der Lateinischen Quadrate angewendet werden?

Auch für die lateinischen Quadrate gilt, was bereits für die Blockanlage erläutert wurde:
Der Verlust an Freiheitsgraden für SQFehler darf nicht größer sein als der Gewinn an Präzision (d. h. Reduktion von SQFehler). Verfahren zur Beurteilung der Effektivität der Lateinischen Quadrate finden sich z. B. bei Steel and Torrie (S. 152) und Van Laar (S.445). Üblicherweise werden Lateinische Quadrate mit fünf bis acht Behandlungen angelegt. Bei vier und weniger Behandlungen bleiben nur noch wenige Freiheitsgrade für SQFehler: Bei mehr als acht Behandlungen wird die Zahl der Versuchseinheiten zu groß, der Versuch droht unwirtschaftlich zu werden.
Eine wesentliche Bedingung für die Verwendung der lateinischen Quadrate ist, daß zwischen dem Prüffaktor und den beiden Störfaktoren keine Wechselwirkungen bestehen dürfen (siehe dazu Kapitel 4.2.4). Bei vorhandener Wechselwirkung folgt das berechnete F nicht mehr der F-Verteilung, damit verliert der F-Test an Gültigkeit.


Letzte Änderung: 22.09.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer