Biometrieübung 5
Spezielle Verteilungen

Lösung


1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen

a) Mittelwert = 1,86
  Modalwert = 2
  Varianz = 1,04
     
b) N = 103  
  n = 4  
  p = Mittelwert/n = 0,47  
  q = 1 - p = 0,53  
  q = Varianz/n/p = 0,56 Problem!
  Problem: Schätzung von q über die Varianz liefert einen etwas abweichenden Wert:
Für q gilt q = 1 - p !
   
c)
k fk pk ek
0 8 0,081 8,37
1 32 0,283 29,23
2 34 0,371 38,27
3 24 0,216 22,27
4 5 0,047 4,86
  103 0,998 103
  k = Anzahl weibl. Mäuse
fk = Beobachtete Häufigkeit
pk = Einzelwahrscheinlichkeiten
ek = Erwartete Häufigkeit

 

2. Anzahl ausgefallener Maschinen von 10 Maschinen

a) Mittelwert = 1,8
  Modalwert = 1
  Varianz = 2,46
     
b) = 1,8
     
c)
k fk ppk epk
0 41 0,1653 33,06
1 62 0,2975 59,51
2 45 0,2678 53,56
3 22 0,1607 32,13
4 16 0,0723 14,46
5 8 0,0260 5,21
6 4 0,0078 1,56
7 2 0,0020 0,40
8 0 0,0005 0,09
9 0 0,0001 0,02
10 0 0,0000 0,00
  200 1 200
  k = Anzahl ausgefallener Maschinen
fk = Beobachtete Ausfallhäufigkeit
ppk = Einzelwahrscheinlichkeiten nach Poissonverteilung
epk = Erwartete Ausfallhäufigkeit nach Poissonverteilung
   
d) N = 200  
  n = 10  
  p = Mittelwert/n = 0,18  
  q = Varianz/n/p = 1,37  
  q = 1 - p = 0,82 Problem !
  Problem: Schätzung von q über die Varianz liefert falschen Wert
Für q gilt q = 1 - p !
Daraus folgt: Die Ausfallhäufigkeiten folgen nicht der Binomialverteilung!
   
 
k fk pbk ebk
0 41 0,1374 27,49
1 62 0,3017 60,34
2 45 0,2980 59,61
3 22 0,1745 34,89
4 16 0,0670 13,40
5 8 0,0177 3,53
6 4 0,0032 0,65
7 2 0,0004 0,08
8 0 0,0000 0,01
9 0 0,0000 0,00
10 0 0,0000 0,00
  200 1 200
  k = Anzahl ausgefallener Maschinen
fk = Beobachtete Ausfallhäufigkeit
pbk = Einzelwahrscheinlichkeiten nach Binomialverteilung
ebk = Erwartete Ausfallhäufigkeit nach Binomialverteilung

 

3. Körperhöhe von 70 Studenten

a) Mittelwert = 70,17 inch
  Modalwert = 73 inch
  Varianz = 10,96 inch²
       
b)
k fk pk ek
62   0,0057 0
63 2 0,0115 1
64 2 0,0212 1
65 3 0,0356 2
66 5 0,0545 4
67 4 0,0762 5
68 6 0,0972 7
69 5 0,1132 8
70 8 0,1204 8
71 7 0,1168 8
72 7 0,1035 7
73 10 0,0837 6
74 6 0,0617 4
75 3 0,0416 3
76 2 0,0256 2
77   0,0144 1
  k = Höhe (in inch)
fk = Beobachtete Anzahl Studenten
pk = Wahrscheinlichkeitsdichte
ek = Erwartete Anzahl Studenten bei Normalverteilung
   
c)
  aus Tabelle Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung erhält man 0,07636
7,64 % der Studenten haben eine Körpergröße unter 165 cm
   
 
  aus Tabelle Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung erhält man 0,91924
da gefragt wieviel Studenten ab 190 cm und nicht bis 190 cm folgt:
1 – 0,91924 = 0,08076
8,08 % der Studenten haben eine Körpergröße ab 190 cm

 

4. Fichtenpflanzen

a) z = (66 cm - 60 cm) / 10 cm = 0,6
  aus Tabelle Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung erhält man 0,72575
da gefragt wieviel Pflanzen über 166 cm und nicht bis 166 cm folgt:
1 – 0,72575 = 0,27425
27,42 % der Pflanzen sind über 166 cm hoch
   
b) p = 548,5 / 2000 = 0,27425 (siehe Lösung 4c)
Die Wahrscheinlichkeit aus der Population eine Pflanze auszuwählen, die höher als 166 cm ist, beträgt 0,27.
   
c) 27,42 % von 2000 Pflanzen sind 548,5 Pflanzen
548 Pflanzen der Population sind höher als 166 cm.
   
d) 72,57 % der Pflanzen sind kleiner als 166 cm (siehe Lösung 4a)
   
e) z = (60 cm - 60 cm) / 10 cm = 0
  aus Tabelle Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung erhält man 0,5
Da nach dem Anteil zwischen 60 cm und 66 cm gefragt ist folgt:
0,72575 (für 66 cm) - 0,5 (für 60 cm) = 0,22575
22,57 % der Pflanzen sind zwischen 60 und 66 cm hoch.

Letzte Änderung: 07.06.1999
Kontakt:
Wolfgang Stümer